Автомобильное право

Решение дробных неравенств определение кратности многочлена. Рациональные неравенства — Гипермаркет знаний

>>Математика:Рациональные неравенства

Рациональное неравенство с одной переменной х - это неравенство вида - рациональные выражения, т.е. алгебраические выражения, составленные из чисел и переменной х с помощью операций сложения, вычитания, умножения, деления и возведения в натуральную степень . Разумеется, переменная может быть обозначена любой другой буквой, но в математике чаще всего предпочтение отдается букве х.

При решении рациональных неравенств используются те три правила, которые были сформулированы выше в § 1. С помощью этих правил обычно преобразуют заданное рациональное неравенство к виду / (ж) > 0, где / (х) - алгебраическая дробь (или многочлен). Далее разлагают числитель и знаменатель дроби f (х) на множители вида х - а (если, конечно, это возможно) и применяют метод интервалов, который мы уже упоминали выше (см. в предыдущем параграфе пример 3).

Пример 1. Решить неравенство (х - 1) (х + 1) (х - 2) > 0.

Решение. Рассмотрим выражение f(х) = (х-1)(х + 1)(х-2).

Оно обращается в 0 в точках 1,-1,2; отметим эти точки на числовой прямой. Числовая прямая разбивается указанными точками на четыре промежутка (рис. 6), на каждом из которых выражение f (x) сохраняет постоянный знак. Чтобы в этом убедиться, проведем четыре рассуждения (для каждого из указанных промежутков в отдельности).

Возьмем любую точку х из промежутка (2, Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, правее точки 1 и правее точки 2. Это значит, что х > -1, х >1, х > 2 (рис. 7). Но тогда x-1>0, х+1>0, х - 2 > 0, а значит, и f (х) > 0 (как произведение рациональное неравенство трех положительных чисел). Итак, на всем промежутке выполняется неравенство f (x) > 0.

Возьмем любую точку х из интервала (1,2). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки-1, правее точки 1, но левее точки 2. Значит, х > -1, х > 1, но х < 2 (рис. 8), а потому x + 1>0,x-1>0,x-2<0. Но тогда f(x) <0 (как произведение двух положительных и одного отрицательного числа). Итак, на промежутке (1,2) выполняется неравенство f (x) < 0.

Возьмем любую точку х из интервала (-1,1). Эта точка расположена на числовой прямой правее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Значит, х >-1, но х< 1, х <2 (рис. 9), а потому х + 1 > 0, х -1 <0, х - 2 < 0. Но тогда f (x) > 0 (как произведение двух отрицательных и одного положительного числа). Итак, на промежутке (-1,1) выполняется неравенство f (x)> 0.

Возьмем, наконец, любую точку х из открытого луча (-оо, -1). Эта точка расположена на числовой прямой левее точки -1, левее точки 1 и левее точки 2. Это значит, что x<-1, х< 1, х<2 (рис. 10). Но тогда x - 1 < 0, x + 1 < 0, х - 2 < 0, а значит, и f (x) < 0 (как произведение трех отрицательных чисел). Итак, на всем промежутке (-оо, -1) выполняется неравенство f (x) < 0.

Подведем итоги. Знаки выражения f (x) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 11. Нас интересуют те из них, на которых выполняется неравенство f (x) > 0. С помощью геометрической модели , представленной на рис. 11, устанавливаем, что неравенство f (x) > 0 выполняется на интервале (-1, 1) или на открытом луче
О т в е т: -1 < х < 1; х > 2.

Пример 2. Решить неравенство
Решение. Как и в предыдущем примере, почерпнем необходимую информацию из рис. 11, но с двумя изменениями по сравнению с примером 1. Во-первых, поскольку нас интересует, при каких значениях х выполняется неравенство f (x) < 0, нам придется выбрать промежутки Во-вторых, нас устраивают и те точки, в которых выполняется равенство f (x) = 0. Это точки -1, 1, 2, отметим их на рисунке темными кружочками и включим в ответ. На рис. 12 представлена геометрическая модель ответа, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.
Ответ:
П р и м е р 3. Решить неравенство
Решение . Разложим на множители числитель и знаменатель алгебраической дроби fх, содержащейся в левой части неравенства. В числителе имеем х 2 - х = х(х - 1).

Чтобы разложить на множители квадратный трехчлен х 2 - bх ~ 6, содержащийся в знаменателе дроби, найдем его корни. Из уравнения х 2 - 5х - 6 = 0 находим х 1 = -1, х 2 = 6. Значит, (мы воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена: ах 2 + bх + с = а(х - х 1 - х 2)).
Тем самым мы преобразовали заданное неравенство к виду

Рассмотрим выражение:

Числитель этой дроби обращается в 0 в точках 0 и 1, а обращается в 0 в точках -1 и 6. Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 13). Числовая прямая разбивается указанными точками на пять промежутков, причем на каждом промежутке выражение fх) сохраняет постоянный знак. Рассуждая так же, как в примере 1, приходим к выводу, что знаки выражения fх) в выделенных промежутках таковы, как показано на рис. 13. Нас интересует, где выполняется неравенство f (x) < 0. С помощью геометрической модели, представленной на рис. 13, устанавливаем, что f (х) < 0 на интервале (-1, 0) или на интервале (1, 6).

0твет: -1

Пример 4. Решить неравенство

Решение. При решении рациональных неравенств, как правило, предпочитают оставлять в правой части неравенства только число 0. Поэтому преобразуем неравенство к виду

Как показывает опыт, если в правой части не(ра-венства содержится лишь число 0, удобнее проводить рассуждения, когда в левой его части и числитель и знаменатель имеют положительный старший коэффициент . А что у нас? У нас в знаменателе дроби в этом смысле все в порядке (старший коэффициент, т.е. коэффициент при х 2 , равен 6 - положительное число), но в числителе не все в порядке - старший коэффициент (коэффициент при х) равен -4 (отрицательное число). Умножив обе части неравенства на -1 и изменив при этом знак неравенства на противоположный, получим равносильное ему неравенство

Разложим числитель и знаменатель алгебраической дроби на множители. В числителе все просто:
Чтобы разложить на множители содержащийся в знаменателе дроби квадратный трехчлен

(мы снова воспользовались формулой разложения на множители квадратного трехчлена).
Тем самым заданное неравенство мы привели к виду

Рассмотрим выражение

Числитель этой дроби обращается в 0 в точке а знаменатель - в точках Отметим эти точки на числовой прямой (рис. 14), которая разбивается указанными точками на четыре промежутка, причем на каждом промежутке выражение f (х) сохраняет постоянный знак (эти знаки указаны на рис. 14). Нас интересуют те промежутки, на которых выполняется неравенство fх < 0; эти промежутки выделены штриховкой на рис. 15. По условию, нас интересуют и те точки х, в которых выполняется равенство f (х) = 0. Такая точка только одна - это точка поскольку лишь при этом значении числитель дроби f (х) обращается в нуль. Точка отмечена на рис. 15 темным кружочком. Таким образом, на рис. 15 представлена геометрическая модель решения заданного неравенства, от которой нетрудно перейти к аналитической записи.

Во всех рассмотренных примерах мы преобразовывали заданное неравенство в равносильное ему неравенство вида f {х) > 0 или f (x) <0,где
При этом количество множителей в числителе и знаменателе дроби может быть любым. Затем отмечали на числовой прямой точки а,Ь,с,д. и определяли знаки выражения f (х) на выделенных промежутках. Заметили, что на самом правом из выделенных промежутков выполняется неравенство f (х) > 0, а далее по промежуткам знаки выражения f (х) чередуются (см. рис. 16а). Это чередование удобно иллюстрировать с помощью волнообразной кривой, которая чертится справа налево и сверху вниз (рис. 166). На тех промежутках, где эта кривая (ее иногда называют кривой знаков) расположена выше оси х, выполняется неравенство f (х) > 0; где эта кривая расположена ниже оси х, выполняется неравенство f (х) < 0.

Пример 5. Решить неравенство

Решение. Имеем

(обе части предыдущего неравенства умножили на 6).
Чтобы воспользоваться методом интервалов, отметим на числовой прямой точки (в этих точках числитель дроби, содержащейся в левой части неравенства, обращается в нуль) и точки (в этих точках знаменатель указанной дроби обращается в нуль). Обычно точки отмечают схематически, учитывая порядок их следования (какое - правее, какое - левее) и не особенно обращая внимания на соблюдение масштаба. Ясно, что Сложнее обстоит дело с числами Первая прикидка показывает, что и то и другое число чуть больше, чем 2,6, откуда нельзя сделать вывод о том, какое из указанных чисел больше, а какое - меньше. Предположим (наугад), что Тогда
Получилось верное неравенство, значит, наша догадка подтвердилась: на самом деле
Итак,

Отметим указанные 5 точек в указанном порядке на числовой прямой (рис. 17а). Расставим знаки выражения
на полученных промежутках: на самом правом - знак +, а далее знаки чередуются (рис. 176). Начертим кривую знаков и выделим (штриховкой) те промежутки, на которых выполняется интересующее нас неравенство f (x) > 0 (рис. 17в). Учтем, наконец, что речь идет о нестрогом неравенстве f (x) > 0, значит, нас интересуют и те точки, в которых выражение f (x) обращается в нуль. Это - корни числителя дроби f (x), т.е. точки отметим их на рис. 17в темными кружочками (и, естественно, включим в ответ). Вот теперь рис. 17в дает полную геометрическую модель решений заданного неравенства.

Продолжаем разбирать способы решения неравенств, имеющих в составе одну переменную. Мы уже изучили линейные и квадратные неравенства, которые представляют из себя частные случаи рациональных неравенств. В этой статье мы уточним, неравенства какого типа относятся к рациональным, расскажем, на какие виды они делятся (целые и дробные). После этого покажем, как правильно их решать, приведем нужные алгоритмы и разберем конкретные задачи.

Yandex.RTB R-A-339285-1

Понятие рациональных равенств

Когда в школе изучают тему решения неравенств, то сразу берут рациональные неравенства. На них приобретаются и оттачиваются навыки работы с этим видом выражений. Сформулируем определение данного понятия:

Определение 1

Рациональное неравенство представляет из себя такое неравенство с переменными, которое содержит в обоих частях рациональные выражения.

Отметим, что определение никак не затрагивает вопрос количества переменных, значит, их может быть сколь угодно много. Следовательно, возможны рациональные неравенства с 1 , 2 , 3 и более переменными. Чаще всего приходится иметь дело с выражениями, содержащими всего одну переменную, реже две, а неравенства с большим количеством переменных обычно в рамках школьного курса не рассматривают вовсе.

Таким образом, мы можем узнать рациональное неравенство, посмотрев на его запись. И с правой, и с левой стороны у него должны быть расположены рациональные выражения. Приведем примеры:

x > 4 x 3 + 2 · y ≤ 5 · (y − 1) · (x 2 + 1) 2 · x x - 1 ≥ 1 + 1 1 + 3 x + 3 · x 2

А вот неравенство вида 5 + x + 1 < x · y · z не относится к рациональным, поскольку слева у него есть переменная под знаком корня.

Все рациональные неравенства делятся на целые и дробные.

Определение 2

Целое рациональное равенство состоит из целых рациональных выражений (в обеих частях).

Определение 3

Дробно рациональное равенство – это такое равенство, которое содержит дробное выражение в одной или обеих своих частях.

Например, неравенства вида 1 + x - 1 1 3 2 2 + 2 3 + 2 11 - 2 · 1 3 · x - 1 > 4 - x 4 и 1 - 2 3 5 - y > 1 x 2 - y 2 являются дробно рациональными, а 0 , 5 · x ≤ 3 · (2 − 5 · y) и 1: x + 3 > 0 – целыми.

Мы разобрали, что из себя представляют рациональные неравенства, и выделили их основные типы. Можем переходить дальше, к обзору способов их решения.

Допустим, что нам требуется найти решения целого рационального неравенства r (x) < s (x) , которое включает в себя только одну переменную x . При этом r (x) и s (x) представляют собой любые целые рациональные числа или выражения, а знак неравенства может отличаться. Чтобы решить это задание, нам нужно преобразовать его и получить равносильное равенство.

Начнем с перенесения выражения из правой части в левую. Получим следующее:

вида r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥)

Мы знаем, что r (x) − s (x) будет целым значением, а любое целое выражение допустимо преобразовать в многочлен. Преобразуем r (x) − s (x) в h (x) . Это выражение будет тождественно равным многочленом. Учитывая, что у r (x) − s (x) и h (x) область допустимых значений x одинакова, мы можем перейти к неравенствам h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , которое будет равносильно исходному.

Зачастую такого простого преобразования будет достаточно для решения неравенства, поскольку в итоге может получиться линейное или квадратное неравенство, значение которого вычислить несложно. Разберем такие задачи.

Пример 1

Условие: решите целое рациональное неравенство x · (x + 3) + 2 · x ≤ (x + 1) 2 + 1 .

Решение

Начнем с переноса выражения из правой части в левую с противоположным знаком.

x · (x + 3) + 2 · x − (x + 1) 2 − 1 ≤ 0

Теперь, когда мы выполнили все действия с многочленами слева, можно переходить к линейному неравенству 3 · x − 2 ≤ 0 , равносильному тому, что было дано в условии. Решить его несложно:

3 · x ≤ 2 x ≤ 2 3

Ответ: x ≤ 2 3 .

Пример 2

Условие: найдите решение неравенства (x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 > (x 2 − x) · (x 2 + x) .

Решение

Переносим выражение из левой части в правую и выполняем дальнейшие преобразования с помощью формул сокращенного умножения.

(x 2 + 1) 2 − 3 · x 2 − (x 2 − x) · (x 2 + x) > 0 x 4 + 2 · x 2 + 1 − 3 · x 2 − x 4 + x 2 > 0 1 > 0

В итоге наших преобразований мы получили неравенство, которое будет верным при любых значениях x , следовательно, решением исходного неравенства может быть любое действительное число.

Ответ: любое действительно число.

Пример 3

Условие: решите неравенство x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x · (x 2 + x − 5) > 0 .

Решение

Из правой части мы ничего переносить не будем, поскольку там 0 . Начнем сразу с преобразования левой части в многочлен:

x + 6 + 2 · x 3 − 2 · x 3 − 2 · x 2 + 10 · x > 0 − 2 · x 2 + 11 · x + 6 > 0 .

Мы вывели квадратное неравенство, равносильное исходному, которое легко решить несколькими методами. Применим графический способ.

Начнем с вычисления корней квадратного трехчлена − 2 · x 2 + 11 · x + 6 :

D = 11 2 - 4 · (- 2) · 6 = 169 x 1 = - 11 + 169 2 · - 2 , x 2 = - 11 - 169 2 · - 2 x 1 = - 0 , 5 , x 2 = 6

Теперь на схеме отметим все необходимые нули. Поскольку старший коэффициент меньше нуля, ветви параболы на графике будут смотреть вниз.

Нам будет нужна область параболы, расположенная над осью абсцисс, поскольку в неравенстве у нас стоит знак > . Нужный интервал равен (− 0 , 5 , 6) , следовательно, эта область значений и будет нужным нам решением.

Ответ: (− 0 , 5 , 6) .

Бывают и более сложные случаи, когда слева получается многочлен третьей или более высокой степени. Чтобы решить такое неравенство, рекомендуется использовать метод интервалов. Сначала мы вычисляем все корни многочлена h (x) , что чаще всего делается с помощью разложения многочлена на множители.

Пример 4

Условие: вычислите (x 2 + 2) · (x + 4) < 14 − 9 · x .

Решение

Начнем, как всегда, с переноса выражения в левую часть, после чего нужно будет выполнить раскрытие скобок и приведение подобных слагаемых.

(x 2 + 2) · (x + 4) − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 2 · x + 8 − 14 + 9 · x < 0 x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0

В итоге преобразований у нас получилось равносильное исходному равенство, слева у которого стоит многочлен третьей степени. Применим метод интервалов для его решения.

Сначала вычисляем корни многочлена, для чего нам надо решить кубическое уравнение x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 = 0 . Имеет ли оно рациональные корни? Они могут быть лишь в числе делителей свободного члена, т.е. среди чисел ± 1 , ± 2 , ± 3 , ± 6 . Подставим их по очереди в исходное уравнение и выясним, что числа 1 , 2 и 3 будут его корнями.

Значит, многочлен x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 может быть описан в виде произведения (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) , и неравенство x 3 + 4 · x 2 + 11 · x − 6 < 0 может быть представлено как (x − 1) · (x − 2) · (x − 3) < 0 . С неравенством такого вида нам потом будет легче определить знаки на промежутках.

Далее выполняем оставшиеся шаги интервального метода: рисуем числовую прямую и точки на ней с координатами 1 , 2 , 3 . Они разбивают прямую на 4 промежутка, в которых нужно определить знаки. Заштрихуем промежутки с минусом, поскольку исходное неравенство имеет знак < .

Нам осталось только записать готовый ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

Ответ: (− ∞ , 1) ∪ (2 , 3) .

В некоторых случаях выполнять переход от неравенства r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) к h (x) < 0 (≤ , > , ≥) , где h (x) – многочлен в степени выше 2 , нецелесообразно. Это распространяется на те случаи, когда представить r (x) − s (x) как произведение линейных двучленов и квадратных трехчленов проще, чем разложить h (x) на отдельные множители. Разберем такую задачу.

Пример 5

Условие: найдите решение неравенства (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) ≥ 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) .

Решение

Данное неравенство относится к целым. Если мы перенесем выражение из правой части влево, раскроем скобки и выполним приведение слагаемых, то получим x 4 − 4 · x 3 − 16 · x 2 + 40 · x + 19 ≥ 0 .

Решить такое неравенство непросто, поскольку придется искать корни многочлена четвертой степени. Оно не имеет ни одного рационального корня (так, 1 , − 1 , 19 или − 19 не подходят), а искать другие корни сложно. Значит, воспользоваться этим способом мы не можем.

Но есть и другие способы решения. Если мы перенесем выражения из правой части исходного неравенства в левую, то сможем выполнить вынесение за скобки общего множителя x 2 − 2 · x − 1:

(x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 19) − 2 · x · (x 2 − 2 · x − 1) ≥ 0 (x 2 − 2 · x − 1) · (x 2 − 2 · x − 19) ≥ 0 .

Мы получили неравенство, равносильное исходному, и его решение даст нам искомый ответ. Найдем нули выражения в левой части, для чего решим квадратные уравнения x 2 − 2 · x − 1 = 0 и x 2 − 2 · x − 19 = 0 . Их корни – 1 ± 2 , 1 ± 2 5 . Переходим к равенству x - 1 + 2 · x - 1 - 2 · x - 1 + 2 5 · x - 1 - 2 5 ≥ 0 , которое можно решить методом интервалов:

Согласно рисунку, ответом будет - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Ответ: - ∞ , 1 - 2 5 ∪ 1 - 2 5 , 1 + 2 ∪ 1 + 2 5 , + ∞ .

Добавим, что иногда нет возможности найти все корни многочлена h (x) , следовательно, мы не можем представить его в виде произведения линейных двучленов и квадратных трехчленов. Тогда решить неравенство вида h (x) < 0 (≤ , > , ≥) мы не можем, значит, решить исходное рациональное неравенство тоже нельзя.

Допустим, надо решить дробно рационально неравенств вида r (x) < s (x) (≤ , > , ≥) , где r (x) и s (x) являются рациональными выражениями, x – переменной. Хотя бы одно из указанных выражений будет дробным. Алгоритм решения в этом случае будет таким:

Определяем область допустимых значений переменной x .
Переносим выражение из правой части неравенства налево, а получившееся выражение r (x) − s (x) представляем в виде дроби. При этом где p (x) и q (x) будут целыми выражениями, которые являются произведениями линейных двучленов, неразложимых квадратных трехчленов, а также степеней с натуральным показателем.
Далее решаем полученное неравенство методом интервалов.
Последним шагом является исключение точек, полученных в ходе решения, из области допустимых значений переменной x , которую мы определили в начале.

Это и есть алгоритм решения дробно рационального неравенства. Большая часть его понятна, небольшие пояснения требуются только для п. 2 . Мы перенесли выражение из правой части налево и получили r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) , а как потом привести его к виду p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) ?

Сначала определим, всегда ли можно выполнить данное преобразование. Теоретически, такая возможность имеется всегда, поскольку в рациональную дробь можно преобразовать любое рациональное выражение. Здесь же у нас есть дробь с многочленами в числителе и знаменателе. Вспомним основную теорему алгебры и теорему Безу и определим, что любой многочлен n -ной степени, содержащий одну переменную, может быть преобразован в произведение линейных двучленов. Следовательно, в теории мы всегда можем преобразовать выражение таким образом.

На практике разложение многочленов на множители зачастую оказывается довольно трудной задачей, особенно если степень выше 4 . Если мы не сможем выполнить разложение, то не сможем и решить данное неравенство, однако в рамках школьного курса такие проблемы обычно не изучаются.

Далее нам надо решить, будет ли полученное неравенство p (x) q (x) < 0 (≤ , > , ≥) равносильным по отношению к r (x) − s (x) < 0 (≤ , > , ≥) и к исходному. Есть вероятность, что оно может оказаться и неравносильным.

Равносильность неравенства будет обеспечена тогда, когда область допустимых значений p (x) q (x) совпадет с областью значений выражения r (x) − s (x) . Тогда последний пункт инструкции по решению дробно рациональных неравенств выполнять не нужно.

Но область значений для p (x) q (x) может оказаться шире, чем у r (x) − s (x) , например, за счет сокращения дробей. Примером может быть переход от x · x - 1 3 x - 1 2 · x + 3 к x · x - 1 x + 3 . Либо это может происходить при приведении подобных слагаемых, например, здесь:

x + 5 x - 2 2 · x - x + 5 x - 2 2 · x + 1 x + 3 к 1 x + 3

Для таких случаев и добавлен последний шаг алгоритма. Выполнив его, вы избавитесь от посторонних значений переменной, которые возникают из-за расширения области допустимых значений. Возьмем несколько примеров, чтобы было более понятно, о чем идет речь.

Пример 6

Условие: найдите решения рационального равенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x x - 3 2 · x + 1 .

Решение

Действуем по алгоритму, указанному выше. Сначала определяем область допустимых значений. В данном случае она определяется системой неравенств x + 1 · x - 3 ≠ 0 x - 3 2 ≠ 0 x - 3 2 · (x + 1) ≠ 0 , решением которой будет множество (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) ≥ 0

После этого нам нужно преобразовать его так, чтобы было удобно применить метод интервалов. Первым делом приводим алгебраические дроби к наименьшему общему знаменателю (x − 3) 2 · (x + 1) :

x x + 1 · x - 3 + 4 (x - 3) 2 + 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) = = x · x - 3 + 4 · x + 1 + 3 · x x - 3 2 · x + 1 = x 2 + 4 · x + 4 (x - 3) 2 · (x + 1)

Сворачиваем выражение в числителе, применяя формулу квадрата суммы:

x 2 + 4 · x + 4 x - 3 2 · x + 1 = x + 2 2 x - 3 2 · x + 1

Областью допустимых значений получившегося выражения является (− ∞ , − 1) ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) . Мы видим, что она аналогична той, что была определена для исходного равенства. Заключаем, что неравенство x + 2 2 x - 3 2 · x + 1 ≥ 0 является равносильным исходному, значит, последний шаг алгоритма нам не нужен.

Используем метод интервалов:

Видим решение { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) , которое и будет решением исходного рационального неравенства x x + 1 · x - 3 + 4 x - 3 2 ≥ - 3 · x (x - 3) 2 · (x + 1) .

Ответ: { − 2 } ∪ (− 1 , 3) ∪ (3 , + ∞) .

Пример 7

Условие: вычислите решение x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 .

Решение

Определяем область допустимых значений. В случае с этим неравенством она будет равна всем действительным числам, кроме − 2 , − 1 , 0 и 1 .

Переносим выражения из правой части в левую:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 > 0

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 = x + 3 - x - 3 x x + 2 = 0 x x + 2 = 0 x + 2 = 0

Учитывая получившийся результат, запишем:

x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 0 + 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 x 2 - 1 = = 2 x - 1 - 1 x + 1 - 2 · x + 2 (x + 1) · x - 1 = = - x - 1 (x + 1) · x - 1 = - x + 1 (x + 1) · x - 1 = - 1 x - 1

Для выражения - 1 x - 1 областью допустимых значений будет множество всех действительных чисел, за исключением единицы. Мы видим, что область значений расширилась: в нее были добавлены − 2 , − 1 и 0 . Значит, нам нужно выполнить последний шаг алгоритма.

Поскольку мы пришли к неравенству - 1 x - 1 > 0 , можем записать равносильное ему 1 x - 1 < 0 . С помощью метода интервалов вычислим решение и получим (− ∞ , 1) .

Исключаем точки, которые не входят в область допустимых значений исходного равенства. Нам надо исключить из (− ∞ , 1) числа − 2 , − 1 и 0 . Таким образом, решением рационального неравенства x + 3 x - 1 - 3 x x + 2 + 2 x - 1 > 1 x + 1 + 2 · x + 2 x 2 - 1 будут значения (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

Ответ: (− ∞ , − 2) ∪ (− 2 , − 1) ∪ (− 1 , 0) ∪ (0 , 1) .

В заключение приведем еще один пример задачи, в котором окончательный ответ зависит от области допустимых значений.

Пример 8

Условие: найдите решение неравенства 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 .

Решение

Область допустимых значений неравенства, заданного в условии, определяет система x 2 ≠ 0 x 2 - x + 1 ≠ 0 x - 1 ≠ 0 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≠ 0 .

Решений у этой системы нет, поскольку

x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 = = (x + 1) · x 2 - x + 1 x 2 - x + 1 - (x - 1) · x + 1 x - 1 = = x + 1 - (x + 1) = 0

Значит, исходное равенство 5 + 3 x 2 x 3 + 1 x 2 - x + 1 - x 2 - 1 x - 1 ≥ 0 не имеет решения, поскольку нет таких значений переменной, при которой оно имело бы смысл.

Ответ: решений нет.

Если вы заметили ошибку в тексте, пожалуйста, выделите её и нажмите Ctrl+Enter

Соблюдение Вашей конфиденциальности важно для нас. По этой причине, мы разработали Политику Конфиденциальности, которая описывает, как мы используем и храним Вашу информацию. Пожалуйста, ознакомьтесь с нашими правилами соблюдения конфиденциальности и сообщите нам, если у вас возникнут какие-либо вопросы.

Сбор и использование персональной информации

Под персональной информацией понимаются данные, которые могут быть использованы для идентификации определенного лица либо связи с ним.

От вас может быть запрошено предоставление вашей персональной информации в любой момент, когда вы связываетесь с нами.

Ниже приведены некоторые примеры типов персональной информации, которую мы можем собирать, и как мы можем использовать такую информацию.

Какую персональную информацию мы собираем:

Когда вы оставляете заявку на сайте, мы можем собирать различную информацию, включая ваши имя, номер телефона, адрес электронной почты и т.д.

Как мы используем вашу персональную информацию:

Собираемая нами персональная информация позволяет нам связываться с вами и сообщать об уникальных предложениях, акциях и других мероприятиях и ближайших событиях.
Время от времени, мы можем использовать вашу персональную информацию для отправки важных уведомлений и сообщений.
Мы также можем использовать персональную информацию для внутренних целей, таких как проведения аудита, анализа данных и различных исследований в целях улучшения услуг предоставляемых нами и предоставления Вам рекомендаций относительно наших услуг.
Если вы принимаете участие в розыгрыше призов, конкурсе или сходном стимулирующем мероприятии, мы можем использовать предоставляемую вами информацию для управления такими программами.

Раскрытие информации третьим лицам

Мы не раскрываем полученную от Вас информацию третьим лицам.

Исключения:

В случае если необходимо - в соответствии с законом, судебным порядком, в судебном разбирательстве, и/или на основании публичных запросов или запросов от государственных органов на территории РФ - раскрыть вашу персональную информацию. Мы также можем раскрывать информацию о вас если мы определим, что такое раскрытие необходимо или уместно в целях безопасности, поддержания правопорядка, или иных общественно важных случаях.
В случае реорганизации, слияния или продажи мы можем передать собираемую нами персональную информацию соответствующему третьему лицу – правопреемнику.

Защита персональной информации

Мы предпринимаем меры предосторожности - включая административные, технические и физические - для защиты вашей персональной информации от утраты, кражи, и недобросовестного использования, а также от несанкционированного доступа, раскрытия, изменения и уничтожения.

Соблюдение вашей конфиденциальности на уровне компании

Для того чтобы убедиться, что ваша персональная информация находится в безопасности, мы доводим нормы соблюдения конфиденциальности и безопасности до наших сотрудников, и строго следим за исполнением мер соблюдения конфиденциальности.

Понятие математического неравенства возникло в глубокой древности. Это произошло тогда, когда у первобытного человека появилась потребность при счёте и действиях с различными предметами сравнивать их количество и величину. Начиная с античных времён неравенствами пользовались в своих рассуждениях Архимед, Евклид и другие прославленные деятели науки: математики, астрономы, конструкторы и философы.

Но они, как правило, применяли в своих работах словесную терминологию. Впервые современные знаки для обозначения понятий «больше» и «меньше» в том виде, каком их сегодня знает каждый школьник, придумали и применили на практике в Англии. Оказал такую услугу потомкам математик Томас Гарриот. А случилось это около четырёх столетий назад.

Известно множество видов неравенств. Среди них простые, содержащие одну, две и больше переменных, квадратные, дробные, сложные соотношения и даже представленные системой выражений. А понять, как решать неравенства, лучше всего на различных примерах.

Не опоздать на поезд

Для начала представим себе, что житель сельской местности спешит на железнодорожную станцию, которая находится на расстоянии 20 км от его деревни. Чтобы не опоздать на поезд, отходящий в 11 часов, он должен вовремя выйти из дома. В котором часу это необходимо сделать, если скорость его движения составляет 5 км/ч? Решение этой практической задачи сводится к выполнению условий выражения: 5 (11 - Х) ≥ 20, где Х - время отправления.

Это понятно, ведь расстояние, которое необходимо преодолеть селянину до станции равно скорости движения, умноженной на количество часов в пути. Прийти раньше человек может, но вот опоздать ему никак нельзя. Зная, как решать неравенства, и применив свои умения на практике, в итоге получим Х ≤ 7, что и является ответом. Это значит, что селянину следует отправиться на железнодорожную станцию в семь утра или несколько ранее.

Числовые промежутки на координатной прямой

Теперь выясним, как отобразить описываемые соотношения на Полученное выше неравенство не является строгим. Оно означает, что переменная может принимать значения меньше 7, а может быть равным этому числу. Приведём другие примеры. Для этого внимательно рассмотрим четыре рисунка, представленных ниже.

На первом из них можно увидеть графическое изображение промежутка [-7; 7]. Он состоит из множества чисел, размещённых на координатной прямой и находящихся между -7 и 7, включая границы. При этом точки на графике изображаются в виде закрашенных кругов, а запись промежутка производится с использованием

Второй рисунок является графическим представлением строгого неравенства. В данной случае пограничные числа -7 и 7, показанные выколотыми (не закрашенными) точками, не включаются в указанное множество. А запись самого промежутка производится в круглых скобках следующим образом: (-7; 7).

То есть, выяснив, как решать неравенстватакого типа, и получив подобный ответ, можно заключить, что он состоит из чисел, находящихся между рассматриваемыми границами, кроме -7 и 7. Следующие два случая необходимо оценивать аналогичным образом. На третьем рисунке даются изображения промежутков (-∞; -7] U }